La Combinatoria Algebraica es un área interdisciplinaria joven de las Matemáticas que tiene un carácter muy amplio y cuya esencia es la interacción entre la combinatoria y el álgebra. Por un lado, estudia aspectos combinatorios de ramas más clásicas de las matemáticas como son la Teoría de Grupos, la Teoría de Representaciones de Grupos de Coxeter y de álgebras de Lie Semisimples, la Teoría de Funciones Simétricas y el Cálculo de Schubert. Por otro lado, para resolver problemas de enumeración y sobre permutaciones, complejos simpliciales, politopos, gráficas, conjuntos parcialmente ordenados y otros objetos combinatorios, utiliza una variedad de ideas y técnicas algebraicas, como aquellas que vienen de Teoría de Grupos, álgebra Lineal, álgebra Homológica, álgebra Conmutativa, álgebras de Hopf, y Teoría de Categorías.

La Combinatoria Algebraica y la Teoría de Representaciones de Grupos constituyen el contexto de trabajo del Dr. Ernesto Vallejo, cuya labor reciente queda descrita en las siguientes líneas.

Uno de los problemas que ha trabajado a lo largo de varios a~nos es el de estudiar maneras de calcular la descomposición en irreducibles del producto tensorial de dos representaciones y dar maneras combinatorias o geométricas para calcular la multiplicidad de cada representación irreducible en el producto. En algunos casos es relativamente sencillo; en otros extremadamente complicado. Un ejemplo clásico, muy importante, es el estudio de los coeficientes de Littlewood-Richardson, que nos dan la multiplicidad de una representación irreducible del grupo lineal general en el producto de otras dos representaciones irreducibles. Estos coeficientes se calculan contando el número de unos objetos combinatorios llamados tablas de Littlewood-Richardson, o el número de puntos enteros en ciertos politopos convexos. Hay otros coeficientes, los de Kronecker, que dan la multiplicidad de una representación irreducible compleja del grupo simétrico en el producto de otras dos representaciones irreducibles. Estos coeficientes generalizan a los de Littlewood-Richardson. Es un problema abierto, difícil, de mucho interés en álgebra, Física y más recientemente en Teoría de Complejidad Geométrica, el de encontrar un método satisfactorio para calcular los coeficientes de Kronecker y describirlos combinatoriamente o geométricamente, al estilo de los coeficientes de Littlewood-Richardson. A lo largo de varios a~nos ha desarrollado un método para estudiar estos coeficientes usando matrices de dimensiones dos y tres, junto con dos conceptos de Tomografía Discreta: unicidad y aditividad. En particular ha obtenido varios resultados y caracterizaciones de matrices aditivas. El método ha permitido encontrar algunos resultados de estabilidad de los coeficientes de Kronecker.

El Dr. Daniel Pellicer se dedica al estudio de simetrías de estructuras discretas. Sus trabajos se centran en simetrías de mapas en superficies y de ciertos objetos llamados politopos abstractos. Los mapas en superficies han sido estudiados desde varios aspectos que incluyen puramente combinatorios (por ejemplo el teorema de los cuatro colores), eminentemente geométricos (por ejemplo el punto de vista de las superficies de Riemann), y topológicos (por ejemplo la característica de Euler). Los mapas altamente simétricos se empezaron a estudiar a inicios del siglo XX, y buena parte de su estudio se debe al trabajo de Coxeter, quien los vinculó con teoría de grupos. En particular, Coxeter visualizó a los mapas regulares como generalizaciones de los sólidos platónicos; una de sus similitudes es la relación intrínseca que tienen con los grupos de Coxeter. Yendo más a fondo en estas ideas, varios investigadores en las últimas décadas han definido diversos objetos combinatorios cuyo estudio puede ser llevado a cabo a través de los grupos de Coxeter. Dentro de estos objetos se encuentran los politopos abstractos, que son conjuntos parcialmente ordenados que satisfacen ciertos axiomas de las latices de caras de los politopos convexos. En los últimos años el Dr. Pellicer ha centrado su atención en los politopos abstractos quirales, que son aquellos que poseen todas las posibles simetrías por rotaciones combinatorias, pero ninguna simetría por reflexión. Su existencia en rangos mayores fue probada apenas en 2010 y aún hay muchas preguntas pendientes acerca de ellos. Recientemente ha habido interés por extender a otras clases de politopos abstractos los resultados obtenidos hasta ahora para politopos quirales.