Robert Oeckl

Basándonos en nociones de medición, probabilidad y correlación reconstruiremos los fundamentos de que es una teoría física. Encontraremos tanto la física clásica como la física cuántica como posibilidades y entenderemos algunas de sus diferencias. El concepto matemático detrás es el de un espacio vectorial parcialmente ordenado. A pesar de su aparente simplicidad, el material tratado en el curso surge de un reciente acercamiento a la unificación de la teoría cuántica con la relatividad general (pero casi no hablaremos de eso).

Manuel Sedano Mendoza

En este minicurso daremos un paseo a la siguiente idea: usar la geometría de los espacios métricos para estudiar grupos. En la primera parte del curso veremos el concepto de Grafos de Cayley asociados a un grupo (finitamente generado), estos son espacios métricos en los que el grupo actúa de manera natural preservando distancias (acción isométrica intrínseca). En la segunda parte del curso veremos cómo, en el caso que el grupo esté actuando en algún espacio métrico con “buen comportamiento” (acción isométrica extrı́nseca), se relaciona la geometrı́a del espacio métrico dado con la de los grafos de Cayley, esta relación nos la da el Teorema de Schwarz-Milnor.

Gerardo Raggi Cárdenas

1. Repaso de teoría de grupos.
2. El álgebra de grupo CG para un grupo finito G.
3. Módulos y el Teorema de Wedderburn para CG.
4. Caracteres y sus tablas.
5. Todo grupo de orden |G| = p^a q^b , donde p y q son primos no es simple.

Alejandro Corichi Rodríguez Gil

El espacio-tiempo es el escenario en el que todos los fenómenos físicos transcurren, pero un entendimiento de qué es y cómo podemos describirlo necesita de una serie de pasos tanto físicos como matemáticos. En el curso daremos estos pasos para ir avanzando de manera constructiva y así llegar a la teoría moderna que describe estos fenómenos, la relatividad general.

Jesús Hernández Hernández

En este curso veremos los elementos básicos para el estudio de la geometría hiperbólica en dos dimensiones. Empezando por la introducción de dos modelos, estudiaremos varios resultados clásicos y representativos de esta geometría como lo son la suma de los ángulos internos de un triángulo, así como la clasificación de sus isometrías. Posteriormente veremos cómo la geometría de subgrupos de isometrías está relacionada con la geometría del plano hiperbólico, mostrando así un resultado que se volvió modelo a seguir y ejemplo del resultado fundamental de teoría geométrica de grupos.

Eugenio Balanzario Gutiérrez

Comenzaremos este curso breve explicando la noción de “cola de una distribución de probabilidad”. Serán de nuestro interés las distribuciones de cola pesada y la forma de cómo éstas modelan fenómenos económicos, financieros y naturales que tienen el potencial de alcanzar valores máximos muy alejados de lo que se observa en promedio. En el caso de fenómenos naturales, los valores extremos observados suelen poner en riesgo tanto el patrimonio como la vida misma de poblaciones humanas. Se mostrará cómo al graficar los datos de una muestra aleatoria en papel log-log, se puede identificar si la muestra proviene de una distribución de cola pesada. Se explicará cómo algunas distribuciones de cola pesada sirven como distribuciones límite de sumas de variables aleatorias, pero más importante para nosotros será el determinar las distribuciones límite de los valores máximos de muestras aleatorias. En el curso también se aborda el problema de la estimación de los parámetros que determinan una distribución de cola pesada dentro de su familia paramétrica. Finalmente, se discutirá sobre las desviaciones empíricas de conjuntos de datos de la vida real a los modelos clásicos de distribuciones de cola pesada, dando lugar a modelos de cola pesada temperados en los valores más extremos. Este curso breve puede considerarse como una primera introducción al libro “Modelling Extremal Events: for Insurance and Finance” de los autores Embrechts, Klüppelberg y Mikosch.