Escuela de Verano

Curso sobre tablas de marcas y tablas de caracteres de grupos finitos con aplicaciones.

Resumen: Mediante las técnicas del análisis complejo y un poco de geometría proyectiva y diferencial, veremos algunos resultados clásicos de este teoría, en particular veremos las distintas maneras en que se pueden caracterizar, al final veremos como compactificar el espacio de las curvas elípticas mediante el j-invariante. Requisitos: Análisis complejo, poco de geometría diferencial, topología

El problema de Waring, propuesto en 1770 por Waring, afirma que para cualquier numero natural n existe un k tal que todo numero natural puede expresarse como suma de k potencias n-esimas de números enteros no negativos (por ejemplo, todo numero natural puede expresarse como suma de cuatro cuadrados o 9 cubos o 19 cuartas potencias de números enteros no negativos). El problema de Waring fue resuelto en 1909 por Hilbert. Los trabajos posteriores sobre variantes del problema llevo al desarrollo de poderosos herramientas en la teoría analítica de números, entre cuales se destacan el método circular de Hardy-Littlewood y el método de las sumas trigonométricas de Vinogradov. En este curso planeamos estudiar las ideas claves de la solución del problema de Waring por el método circular de Hardy- Littlewood en la forma de sumas trigonométricas de Vinogradov.

En este curso enseñaremos una manera de ver a los grupos como espacios métricos. Una vez hecho esto veremos la noción de cuasi-isometría, con la cual podemos tanto clasificar grupos, como "jalar" propiedades de espacios métricos a los grupos. Finalmente, veremos cómo se le puede dar una noción de curvatura negativa a los grupos (y a los espacios métricos) y que consecuencias algebraicas tiene esto.

En esta charla estudiaremos desde un punto de vista de cálculo uno uno de los conceptos cruciales de la geometría de gran escala, debido a Gromov.

Esta transformación, entre otros, se aplica en la solución de la ecuación de Schroedinger y en área de los polinomios ortogonales.

En México, una alta proporción de muertes son causadas por enfermedades de origen epitelial, como los carcinomas, el asma, la dermatitis atópica, y las infecciones de mucosas. Es por tanto indispensable mejorar las estrategias preventivas y los tratamientos de estas enfermedades. Sin embargo, éste es un reto difícil, pues se trata de enfermedades complejas, en las que (1) hay muchas posibles combinaciones de factores que las pueden desencadenar, (2) hay un empeoramiento gradual de los síntomas, y (3) muchos de los tratamientos presentan efectos secundarios no deseados, por lo que es importante minimizar la intensidad y duración de estos tratamientos. En nuestro grupo de investigación, utilizando diferentes formalismos que incluyen las ecuaciones diferenciales y las redes booleanas, hemos propuesto una serie de modelos matemáticos que han ayudado a (1) esclarecer los mecanismos patogénicos (2) encontrar estrategias de prevención temprana, para frenar la progresión de la enfermedad, y (3) diseñar tratamientos óptimos que permiten la regresión de los síntomas a la vez que se minimizan los efectos secundarios no deseados. Platicaré de cómo hemos aplicado nuestra metodología y análisis a una gran gama de enfermedades epiteliales complejas, incluyendo dermatitis atópica, psoriasis, cáncer de piel, neumonía, asma, cirrosis, candidiasis, y cáncer de hígado. Mostraré cómo nuestros modelos matemáticos nos han permitido integrar y analizar una gran gama de datos clínicos y experimentales, detectar de manera sistemática posibles causas de estas enfermedades, y proponer estrategias preventivas más eficientes.

La disposición de los órganos laterales en las plantas como son las hojas, las flores, las escamas, las costillas, etc., son utilizados para caracterizar a las especies. En décadas pasadas el origen de los órganos laterales alrededor de las raíces, la organización de los tejidos y los patrones que siguen el número mágico se han tratado con modelos que consideran por separado la parte bioquímica, física y geométrica de las plantas. Sin embargo, consideramos que estos fenómenos deben estar integrados dentro de un ambiente retroalimentado para que un organismo crezca y se desarrolle. En este sentido, en la plática mostraremos una forma de integrar algunas características intrínsecas del crecimiento de las plantas con sus limitaciones mecánicas y geométricas usando un sistema de Turing y los cambios de la curvatura en un dominio que crece.

La idea de la plática no sería que los alumnos aprendieran cierto material, sino que vieran que en fenómenos físicos “cotidianos” se puede pensar de forma geométrica con gran éxito. Primero explicaría que las leyes de Kepler se siguen de la ley de gravitación de Newton y que esta puede deducirse a partir de “principios” de simetría. Esto explica mucho de cómo se mueven los planetas al rededor del sol, pero no explica por qué las órbitas de los planetas están aproximadamente en el mismo plano. Tampoco hay consenso sobre una teoría que explique por qué los anillos de Saturno son tan delgados. Hay una explicación de estos misterios basada en la geometría de los sistemas dinámicos, más exactamente en la ergodicidad.