José Antonio Zapata
Centro de Ciencias Matemáticas
UNAM Campus Morelia Morelia
CP 58190 Michoacán, México

Antes de estar aquí:
Licenciatura en física UNAM, México
Doctorado en física Penn State, USA
Postdoc RRI, India

Fundamentos matemáticos de la
gravitación cuántica de lazos canónica

Cuando el espaciotiempo es de la forma Σ x R, puede construirse soluciones a las ecuaciones de Einstein usando una teoría de campos hamiltoniana sobre Σ, y el grupo de difeomorfismos de Σ actúa como una simetría de norma (relaciona a puntos del espacio fase extendido que son físicamente indistinguibles). En el formalismo de la gravitación cuántica de lazos que se usaba a principios de los 90's, hay un espacio extendido de estados y una representación del grupo de difeomorfismos de Σ en este este espacio. La construcción del espacio de clases casi da lugar a una atractiva estructura combinatoria de de clases de nudos de gráficas coloreadas encajadas en la superficie de Cauchy, Σ.

Yo introduje un formalismo para la cinemática de la gravitación cuántica de lazos en el que la reducción por la simetría de norma de automorfismos de Σ da lugar a una estructura combinatoria. Además, el formalismo se sustenta en una elección de estructura PL compatible con la estructura suave de Σ, y probé un teorema que establece que dos teorías cuánticas construidas a partir de dos estructuras PL compatibles con la estructura suave son teorías cuánticas equivalentes.

A combinatorial approach to diffeomorphism invariant quantum gauge theories
Jose A. Zapata, J.Math.Phys. 38 (1997) 5663-5681
Combinatorial space from loop quantum gravity
Jose A. Zapata, Gen.Rel.Grav. 30 (1998) 1229-1245

Años más tarde, un ambiente matemático muy semejante se usó para probar un teorema de unicidad diciendo que una clase de teorías de norma, que incluye a la formulación de Ashtekar-Barbero de la relatividad general, tiene una "cuantización cinemática" única que es la proveída por la cuantización de lazos. Esta es una liga al artículo de Lewandowski, Okolow, Sahlmann y Thiemann, y esta una liga al artículo de Fleischhack. El enunciado preciso sobre que clase de teorías de norma es la que se cuantiza se basa en establecer un álgebra de observables cinemáticas; el álgebra que está en el corazón de la cuantización de lazos es la llamada "álgebra de holonomías y flujos" que se introdujo en

Quantum theory of geometry III: Noncommutativity of Riemannian structures
Abhay Ashtekar, Alejandro Corichi, Jose A. Zapata, Class.Quant.Grav. 15 (1998) 2955-2972

El álgebra de holonomías y flujos está fuertemente relacionada al álgebra que define las teorías hamiltonianas de norma sobre la red, que yo conocía por mi trabajo descrito en la sección "Modelos discretos para la gravitación." En este artículo la naturaleza no conmutativa de la geometría cuántica de lazos fue descubierta.