La Geometría Discreta es una rama de las matemáticas que estudia propiedades de objetos discretos geométricos como configuraciones de puntos, teselaciones y politopos, así como propiedades combinatorias de familias de objetos geométricos como conjuntos convexos y arreglos de hiperplanos.

El Dr. Daniel Pellicer estudia objetos altamente simétricos en espacios euclidianos, proyectivos o hiperbólicos. En particular, ha centrado su atención en los politopos desde el punto de vista introducido por Grünbaum, en el que las caras de rangos mayores a 1 son vistas como objetos de dimensión 1 (encajes de gráficas). Desde esta perspectiva, las caras no están obligadas a vivir en un subespacio de alguna dimensión dada. Los politopos más estudiados son los llamados regulares, que tienen todas las posibles simetrías por reflexiones combinatorias.

En las últimas dos décadas han sido de particular interés los politopos quirales, es decir, aquellos que tienen toda la simetría posible por rotaciones combinatorias, pero no por reflexiones combinatorias. En 2005 Schulte clasificó los poliedros quirales en el espacio euclidiano tridimensional; todos ellos son infinitos. La clasificación en el espacio euclidiano tridimensional se completó en 2017 con la lista completa de los politopos quirales de rango 4 (está demostrado que en este espacio no hay politopos quirales de rangos mayores a 4). Se conocen algunos ejemplos de poliedros y politopos quirales de rango 4 en otros espacios, pero la clasificación final todavía parece muy lejana. Se conoce aún menos de poliedros con otros tipos interesantes de simetría, como por ejemplo aquellos donde el grupo de simetrías actúa transitivamente en las aristas. Esto sugiere muchas líneas de investigación a seguir en los próximos años.

El Dr. Edgardo Roldán enfoca su trabajo en temas relacionados con convexidad. Un ejemplo es el teorema de Helly, el cual afirma que si una familia de conjuntos convexos en R^n tiene intersección vacía es porque hay una subfamilia con a lo más n+1 elementos que tiene intersección vacía. Otros teoremas relacionados con convexidad son los teoremas de Radon y Carathéodory que tratan acerca de la estructura de conjuntos de puntos en espacios euclidianos.

Desde hace tiempo se sabe que existen versiones más generales de estos tres teoremas. Por ejemplo, el teorema de Helly tiene una generalización llamada "el teorema de Helly coloreado". Ésta dice que si tenemos n+1 familias de conjuntos convexos en R^n, todas con intersección vacía, entonces existe una nueva familia que contiene exactamente un convexo de cada una de las familias originales y que tiene intersección vacía. El nombre de este teorema viene de pensar que cada convexo está coloreado y que este color es definido por la familia a la que pertenece. Recientemente se han logrado debilitar las hipótesis de este teorema y un tema de investigación activo es el de determinar exactamente cuánto se pueden debilitar. Curiosamente, hay varios teoremas que se pueden colorear de una manera similar al teorema de Helly. Estas versiones de los teoremas suelen ser más fuertes que las originales. El intentar colorear otros resultados ha producido varios problemas y conjeturas muy interesantes.