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Los dos grandes revoluciones de la física fundamental del siglo XX, la teoría de la relatividad especial y general de un lado y la teoría cuántica del otro lado, nos han llevado a un entendimiento bastante profundo del universo y de sus constituyentes. Sin embargo, estos dos marcos teóricos han quedado separados e incluso contradictorios entre si. En mi opinión, el obstáculo principal para su unificación es la formulación particular de la teoría cuántica, consecuencia de su fundamentación histórica en el contexto del pensamiento pre-relativista. Por lo tanto me interesan los fundamentos de la teoría cuántica con la perspectiva de reformularlos de acuerda con los principios de la relatividad general. El laboratorio mas importante para hacerlo resulta ser la teoría cuántica de campos. Mientras las motivaciones vienen de la física, la practica de mi trabajo involucra muchas áreas matemáticas, incluyendo análisis funcional, teoría cuántica de campos topológica, geometría diferencial y simpléctica.

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Estudio de las propiedades cualitativas de las soluciones de las ecuaciones no lineales en en derivadas parciales que tienen aplicaciones en diversas áreas de física, biología, etc. Temas de interés: Comportamiento asintótico para tiempo largo para soluciones de ecuaciones dispersivas no lineales, tales como ecuaciones de Schrödinger no lineales con una no linealidad crítica, ecuación de Klein-Gordon, Benjamin-Ono, Korteweg-de Vries, y además las ecuaciones no lineales disipativas, tales como ecuación no lineal de calor, ecuación de onda con disipación, sistema de Navier-Stokes.

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Mi área de trabajo son los sistemas dinámicos holomorfos. Para ello utilizo ecuaciones diferenciales ordinarias, geometría diferencial, y geometría algebraica. Una virtud de los objetos holomorfos es que muchas veces están contenidos en familias naturales con un número finito de parámetros.

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Mi interés básico está en los problemas de Riemann-Hilbert y sus aplicaciones a problemas de frontera para ecuaciones diferenciales e integrales.

• Evolutivas.
• Estocásticas.
• No lineales no integrables.
• No lineales multidimensionales.
• Con derivadas fraccionarias.

• Análisis complejo y sus generalizaciones.
• Aplicaciones en ingeniería.
• Estadística.
• Biomatemáticas.

Dentro de estos temas me interesan particularmente las cuestiones de existencia y unicidad, influencia de frontera a propiedades de soluciones, destrucción de soluciones. Una herramienta importante de mi trabajo es desarrollo del problema de Riemann-Hilbert, y el método de continuación a analítica.

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Mis temas de interés giran alrededor de invariantes algebraicos para los espacios topológicos y/o espacios métricos. Estos pueden ser grupos de homología, cohomología, topología K, topología y/o topología K algebraica. Típicamente estos invariantes se usan para clasificar o para obtener obstrucciones a construcciones geométricas o topológicas.

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Mi área principal de investigación es la teoría de conjuntos y sus aplicaciones en topología, grupos topológicos y análisis real. Quizá un buen ejemplo de este interés se puede encontrar en nuestra solución (en colaboración con Ariet Ramos) del problema de metrización para grupos de Fréchet, para cuya solución se requirió de una construcción especial de forcing. También estoy interesado en el estudio de invariantes cardinales del continuo, los cuales sintetizan ciertos aspectos combinatorios de conjuntos de reales, además de tener una estrecha relación con la teoría de forcing iterado.

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Mis campos de especialidad son los grupos topológicos, forcing, teoría de filtros, combinatoria infinita, espacios uniformes, espacios resolubles e irresolubles, pseusocompacidad, espacios de funciones sistemas dinámicos discretos, teoría de conjuntos, geometría euclidiana y aplicaciones de teoría de Ramsey a los espacios de Banach.

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Mi área de investigación es Teoría Analítica y Combinatoria de Números. Especialmente me interesan los problemas de estimaciones de sumas trigonométricas y sumas de caracteres, el fenómeno de suma y producto de conjuntos en campos finitos, congruencias aditivas y multiplicativas.

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El análisis complejo fue una de mis materias favoritas desde mis inicios en este apasionante mundo de las matemáticas. Esto influyó de tal manera que durante mi doctorado me incline al estudio de la geometría de las curvas proyectivas complejas no singulares, Jacobianas y fibrados vectoriales. Por medio de estos temas pude entender la relación tan estrecha que existe entre el análisis complejo, la topología, la geometría y el álgebra. La geometría de la proyectiva de curvas por medio del estudio de divisores y sus funciones meromorfas me ayudó a entender junto con el álgebra conmutativa los aspectos topológicos y geométricos de las variedades algebraicas definidas sobre un campo algebraicamente cerrado. Todo esto ha llevado a que mi interés primordial en la investigación sea la geometría algebraica, teniendo como linea principal de investigación problemas relacionados con la geometría de curvas y su espacio moduli, superficies algebraicas, fibrados vectoriales y teoría de Brill-Noether sobre curvas, y algunos aspectos del moduli de curvas desde el punto de vista de la geometría diferencial.