La topología es una de las áreas de las matemáticas que ha tenido un gran desarrollo a nivel nacional e internacional en los últimos años. Cada día se aplican más métodos topológicos en las distintas áreas del conocimiento científico. La actividad de este grupo en la Unidad, tiene un contexto topológico común, aunque desarrollan proyectos de investigación en una gran diversidad de temas de la topología algebraica, la topología de conjuntos y la teoría de conjuntos, así como en áreas cercanas como lógica matemática y teoría de modelos, sistemas dinámicos y álgebras booleanas.

M. Hrusak y S. García-Ferreira se concentran principalmente en las interacciones entre topología y teoría de conjuntos. Usando métodos de combinatoria infinita han resuelto varios problemas importantes en los campos: grupos topológicos, teoría de selecciones, teoría de ultrafiltros, pseudocompacidad, resolubilidad, juegos topológicos, familias casi ajenas, espacios de Fréchet, y álgebras booleanas. Ellos utilizan técnicas de teoría de conjuntos pero, también, las han desarrollado en sus trabajos sobre invariantes cardinales, familias casi ajenas e independientes, principios de adivinanza y el método de “forcing''.

Por su parte, Daniel Juan ha concentrado su labor en el área de la topología algebraica, la cual tiene como uno de sus objetivos principales la clasificación de los espacios topológicos enfatizando aspectos geométricos distintos de los mismos. Por ejemplo, se busca clasificar los espacios según la homotopía, el h-cobordismo o la homología.

Los métodos de la topología algebraica buscan invariantes algebraicos para estudiar fenómenos topológicos o geométricos. Como ejemplos tenemos los grupos de homología, homotopía o los distintos tipos de K-teoría. Algunos de sus trabajos contemplan el cálculo de estos invariantes. Destaca entre ellos su trabajo en la dirección de buscar evidencia para la conjetura de Farrell-Jones, la cual dice que la K-teoría algebraica del anillo de un grupo discreto esta determinada por la K-teoría algebraica de sus subgrupos virtualmente cíclicos.

En estas áreas se estudian interrelaciones entre el álgebra, la topología y la geometría.

En el Centro de Ciencias Matemáticas, las ramas que se trabajan incluyen temas de teoría geométrica de grupos, geometría a gran escala, análisis global y aplicaciones de la topología algebraica.

El Dr. Jesús Hernández se especializa en el estudio el grupo modular de Teichmüller y su relación con la geometría del complejo de curvas y de otros complejos simpliciales, en el contexto de rigidez de acciones y geometría de gran escala del grupo modular.

El trabajo del Dr. Noé Bárcenas incluye temas de análisis global, métodos de la teoría de índice y geometría noconmutativa en interacción en la conjetura de Baum-Connes y en la conjetura de Gromov-Lawson-Rosenberg, el uso de la teoría de homotopía equivariante para el estudio de propiedades de finitud de grupos, y las aplicaciones de la topología algebraica en diversos contextos.

El Dr. Daniel Juan Pineda ha realizado investigación recopilando evidencia para la conjetura de Farrell-Jones y consecuencias geométricas, como la Conjetura de Borel. Del mismo modo, ha realizado contribuciones importantes en el área de condiciones de finitud de gruopos, especialmente al estudio de modelos de espacios clasificantes para familias de grupos.

Los Dres. Noé Bárcenas y Daniel Juan están interesados en temas de teoría geométrica de grupos y su aplicación en las conjeturas de Farrell-Jones y Baum-Connes, así como en la recopilación de evidencia computacional para estas conjeturas.

Los Dres. Jesús Hernández y Ferrán Valdez también realizan investigación relacionada con la geometría de gran escala del grupo modular y complejos donde actúa, en el contexto de superficies de tipo infinito.

En los últimos 40 años, la teoría de representaciones de álgebras asociativas ha tenido un periodo de desarrollo vigoroso. Sus fundamentos se han reorganizado, sus aplicaciones y conexiones con otras áreas de las matemáticas se han diversificado y profundizado. Actualmente, es un área donde hay una vitalidad manifestada en numerosas publicaciones y reuniones frecuentes de especialistas de todo el mundo. El grupo de Morelia forma parte del grupo mexicano que se iniciara al final de los años setenta y le ha tocado participar de manera influyente en el desarrollo de la teoría.

Las técnicas más destacadas en el desarrollo del área han sido las sucesiones que casi se dividen, los métodos diagramáticos y las cubiertas universales, y los métodos matriciales. Algunos de los resultados centrales obtenidos son la prueba de la Conjetura de Brauer Thrall (Bautista), del teorema de dicotomía manso/salvaje (Drozd/Crawley-Boevey), y los métodos de clasificación de álgebras de tipo finito.

En la actualidad, gran parte de la investigación se centra en el estudio de las álgebras de tipo de representación manso, la aplicación de métodos homológicos y de la topología algebraica, y la aplicación de la teoría de representaciones a otras áreas como el álgebra conmutativa y la geometría, o los grupos cuánticos.

El grupo de Morelia participa activamente en las corrientes actuales de investigación en la teoría de representaciones, he aquí algunos ejemplos:

El trabajo de R. Bautista, L. Salmerón y R. Zuazua en el desarrollo de la teoría de bocses y su aplicación al estudio de los casos manso y salvaje, el estudio de categorías derivadas de R. Zuazua, R. Bautista y R. Martínez-Villa, el estudio de la geometría de las variedades de representaciones de bocses de R. Bautista, A.G. Raggi y L. Salmerón, y la aplicación de métodos homológicos al estudio de las gavillas sobre el espacio proyectivo de R. Martínez-Villa.

Dicho de manera superficial; Sistemas Dinámicos es el área de las matemáticas que estudia fenómenos que dependen del tiempo.

Ella tuvo sus origenes en las ecuaciones diferenciales (al estudiar el comportamiento de las soluciones para tiempos grandes), en la iteración de funciones de variable real y compleja (al aplicar métodos iterativos para hallar raíces de ecuaciones algebraicas).

Actualmente los sistemas dinámicos son una rama de las matemáticas que incluyen una gran variedad de tecnicas; ecuaciones diferenciales, geometría diferencial y algebraica, superficies de Riemann, variable compleja, singularidades, topología diferencial ...

Esta área es cercana a las aplicaciones; ya que para muchos modelos de matemáticas aplicadas, es natural estudiar su comportamiento para tiempos grandes.

The field of gravitational physics has become in the past decades a broad field of physics whose theoretical aspects range from astrophysics and cosmology to quantum gravity, one of the most important frontiers of our current understanding of the nature of matter and spacetime. Research in gravitational and mathematical physics at UNAM-Morelia includes a broad spectrum from mathematical espects of the quantum theory, gauge theories to some numerical applications.

Research in Gravitational Physics at UNAM-Morelia covers both classical and quantum aspects of gravitational theories. Among the classical part, of particular interest are mathematical aspects of hairy black hole solutions and the nature of the evolution equations used in realistic simulations of evolving geometries that may undergo gravitational collapse. The quantum aspects are motivated by the current attempts to construct a complete theory of quantum gravity and to understand the geometrical structure of spacetime at the smallest scales. In particular, a strong research efford is being pursued within loop quantum gravity and spin foam models. There is also a strong research efford in quantum field theory and mathematical physics.

La geometría algebraica estudia los conjuntos determinados por las soluciones de sistemas de ecuaciones polinomiales en varias variables con coeficientes sobre un campo. Estos conjuntos definen lo que se conoce como variedades algebraicas, y estas pueden ser variedades afines y/ó proyectivas, dependiendo del espacio donde se estudian las soluciones. Las variedades algebraicas pueden ser puntos, curvas, superficies o variedades de dimensión superior.

Entender determinadas propiedades geométricas de las variedades algebraicas es un problema importante en geometría algebraica y para entender tales propiedades es muy útil estudiar las variedades en "familias", esto es, estudiar las variedades variando los coeficientes (parámetros) de los polinomios de las ecuaciones que las definen. Uno de los problemas centrales y de actualidad de la geometría algebraica es la descripción de las propiedades de tales familias, y en particular la descripción de las propiedades de sus "espacios a parámetros". Esto da origen a los llamados espacios moduli que también son variedades algebraicas. Actualmente estos son temas muy relevantes y de gran actividad a nivel internacional.

Algunos problemas de geometría algebraica que se estudian en el CCM se relaciona en estudiar propiedades de subvariedades del espacio moduli de curvas M_g. Por ejemplo, estudiar la geometría de subvariedades que parametrizan curvas con un modelo proyectivo con singularidades nodales y la relación con subvariedades en la variedad de Severi de curvas planas con nodos. También se estudian temas relacionados con variedades abelianas y variedades de Prym que se obtienen a partir de acciones de grupos sobre curvas.

Se abordan además temas de investigación relacionados con haces vectoriales sobre curvas, en particular el estudio de variedades (determinantales) llamadas de Brill-Noether las cuales parametrizan fibrados estables de determinado grado y rango con un número fijo de secciones. Uno de los problemas principales en esta dirección es el estudio sobre existencia de componentes irreducibles que sean genéricamente no-singulares y que tengan la dimensión esperada para ciertos valores del género de la curva, el grado, rango del fibrado y el número de secciones de los fibrados. Una técnica utilizada para obtener existencia de nuevas componentes es la degeneraciones de curvas junto con la teoría de series lineales límite en rango uno y en rango superior para fibrados vectoriales. Otra técnica que se utiliza en este tipo de problemas es la teoría de deformaciones y extensiones de haces para entender algunas propiedades de los fibrados que interesan estudiar.

Tenemos colaboración con grupos académicos de otras universidades nacionales en donde se aplica la geometría algebraica en otras áreas, por ejemplo, se ha tenido colaboración con investigadores en sistemas dinámicos de la Universidad Juárez Autónoma de Tabasco, con el grupo de geometría algebraica y sistemas dinámicos tanto del CIMAT como del Depto. de Matemáticas de la Universidad de Guanajuato, también se ha colaborado con geometras del grupo de geometría algebraica de la Universidad Autónoma de Zacatecas. En esta relación académica se han abordado problemas relacionados con Indice de campos vectoriales analítico-reales, problemas que tienen que ver con el estudio de ciertas fibraciones sobre superficies racionales, etc.

El CCM ha participado como anfitrión y organizador de varios eventos nacionales e internacionales en Geometría Algebraica que le han dado proyección al CCM .