Resumen

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Mi trabajo de investigación radica en el estudio del grupo modular de Teichmüller de una superficie. En particular, en el estudio de la rigidez de acciones de este grupo en espacios métricos como el complejo de curvas y diversos complejos de multicurvas. Normalmente para esto se utilizan técnicas topológicas, combinatorias, o de teoría geométrica de grupos.
Si la superficie es de tipo finito, me he enfocado más a la rigidez combinatoria y topológica de las acciones, es decir, encontrar condiciones suficientes para que funciones simpliciales entre complejos de curvas/multicurvas estén inducidas por homeomorfismos/encajes entre las superficies. Esto en ocasiones en colaboración con Christopher J. Leininger y Rasimate Maungchang.
Si la superficie es de tipo infinito, si bien me interesa la rigidez combinatoria y topológica, también me he interesado recientemente en: el estudio de y clasificación de los elementos del grupo modular de Teichmüller, el espacio de estructuras/métricas hiperbólicas completas y con propiedades de finitud, y la acción del grupo modular en este espacio, homología y cohomología de diversos subgrupos del grupo modular, etc. Esto normalmente en colaboración con Ferrán Valdez, Israel Morales.
Por otro lado, también me he interesado en acciones acilíndricas de grupos en espacios hiperbólicos, acciones de grupos en árboles, y algunas representaciones de grupos de Artin de ángulo recto.

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Mi investigación se centra en Geometría Discreta, es decir, estudio propiedades combinatorias de objetos geométricos.

Los resultados que más me llaman la atención y en los que he trabajado son los llamados "teoremas coloreados", los cuales suelen ser versiones más fuertes de sus versiones no coloreadas. El teorema de Helly coloreado es el principal ejemplo éstos.

Otro tema en el que trabajo mucho es el de partición de medidas, en donde se buscan formas de partir un espacio de forma que todos los pedazos tengan la misma medida con respecto a varias medidas simultáneamente. Usualmente se requiere de topología algebraica para estudiar estos problemas.

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Un formalismo para la teoría cuántica de campos en variedades, no necesariamente métricas, es una descripción amplia del destino que persigue mi camino en investigación. Así, mi trabajo en física matemática puede etiquetarse como gravitación cuántica, pero el espíritu es incluirla en un formalismo más amplio, que extienda a la teoría cuántica de campos como la conocemos hoy.

He hecho investigación en los siguientes temas:

• Modelos discretos para teorías de campo, en particular para la gravitación.
• Fundamentos matemáticos de la gravitación cuántica de lazos canónica.
• Modelos de espuma de espín en el continuo / compatibilidad con la cuantización de lazos canónica.
• Renormalización para la cuantización de lazos / construcción del primer ejemplo no trivial.