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Mi área de investigación es Teoría Analítica y Combinatoria de Números. Especialmente me interesan los problemas de estimaciones de sumas trigonométricas y sumas de caracteres, el fenómeno de suma y producto de conjuntos en campos finitos, congruencias aditivas y multiplicativas.

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El análisis complejo fue una de mis materias favoritas desde mis inicios en este apasionante mundo de las matemáticas. Esto influyó de tal manera que durante mi doctorado me incline al estudio de la geometría de las curvas proyectivas complejas no singulares, Jacobianas y fibrados vectoriales. Por medio de estos temas pude entender la relación tan estrecha que existe entre el análisis complejo, la topología, la geometría y el álgebra. La geometría de la proyectiva de curvas por medio del estudio de divisores y sus funciones meromorfas me ayudó a entender junto con el álgebra conmutativa los aspectos topológicos y geométricos de las variedades algebraicas definidas sobre un campo algebraicamente cerrado. Todo esto ha llevado a que mi interés primordial en la investigación sea la geometría algebraica, teniendo como linea principal de investigación problemas relacionados con la geometría de curvas y su espacio moduli, superficies algebraicas, fibrados vectoriales y teoría de Brill-Noether sobre curvas, y algunos aspectos del moduli de curvas desde el punto de vista de la geometría diferencial.

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Mis temas de interés en matemáticas son Álgebras Asociativas con unitario, Álgebra Homológica, y las relaciones de estas áreas con otras ramas de las matemáticas. De las álgebras Asociativas estudio principalmente las llamadas Álgebras de Artin, uno de cuyos ejemplos son las álgebras sobre campos de dimensión finita. En este caso me interesa estudiar la estructura de la categoría de representaciones de dimensión finita a través del carcaj (quiver) de Auslander- Reiten. Para clasificar las representaciones de un álgebra se requiere a menudo tener una descripción explícita de las representaciones por medio de matrices y luego saber bajo qué condiciones, diferentes representaciones matriciales dan lugar a representaciones isomorfas. Esto conduce al problema de encontrar representantes de conjuntos finitos de matrices con una relación de equivalencia. Una técnica (iniciada por matemáticos de Kiev en los años setenta ) para atacar este tipo de problema es por medio de álgebras diferenciales tensoriales. En trabajo conjunto con L. Salmerón del CCM y E. Pérez Terrazas de la Univ. Aut. de Yucatán estamos trabajando en el refinamiento de estas técnicas y en sus aplicaciones a distintos tópicos de álgebra, en especial para tratar varios problemas relacionados con las álgebras casi-hereditarias. Otro tema de mi interés es el estudio de la categoría derivada de Álgebras de Artin. Las categorías derivadas permiten comparar álgebras cuyas categorías de representaciones no son equivalentes y también comparar categorías derivadas asociadas a objetos geométricos con la categoría derivada de un álgebra.

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Mi trabajo de investigación actual incluye temas de análisis global, métodos de la teoría de índice y geometría noconmutativa, relacionados con la conjetura de Baum-Connes y sus consecuencias (Conjeturas de Novikov, Gromov-Lawson-Rosenberg, Kaplansky), en colaboración con Paulo Carrillo-Rouse (Toulouse, Francia), Michael Joachim (Münster, Alemania).

En una línea complementaria investigo resultados de rigidez relacionados con la conjetura de Farrell-Jones y Borel (conjunto con Daniel Juan-Pineda, Pablo Suárez-Serrato y Jesús Nüñez-Zimbrón, basados en la UNAM),

Así como en la interacción de métodos de álgebra homológica, teoría geométrica de grupos y teoría de homotopía estable para problemas de finitud de grupos (conjunto con Dieter Degrijse e Irakli Patchkoria, Bonn, Alemania).

Del mismo modo, conservo interés en métodos topológicos en análisis no lineal, específicamente en teoría de punto crítico y teoría de Leray-Schauder (Teorema de paso de montaña con simetrías y grado equivariante con respecto a grupos infinitos), por publicaciones realizadas con anterioridad en el área.

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Después de haber iniciado y consolidado su carrera como investigador en el área de la teoría analítica de los números, en la actualidad el Dr. Balanzario se interesa también en distintas aplicaciones del análisis matemático a problemas que afecten la realidad económica y social de México. La filosofía que orienta el trabajo del Dr. Balanzario es dar prioridad a los problemas que se quieren abordar y después subordinar las técnicas matemáticas que puedan tener relevancia al análisis del problema en turno. Esto implica la apertura y disponibilidad de incursionar en distintas áreas de las matemáticas, pero principalmente en probabilidad, estadística y procesos estocásticos. Entre los problemas que el Dr. Balanzario ha abordado se encuentran: la explotación óptima de recursos naturales (al dirigir dos tesis de licenciatura), la ley de Benford sobre la distribución del dígito más significativo en muestras aleatorias (en dos artículos de investigación), problemas sobre el comportamiento estadístico de indicadores de la productividad académica (en dos artículos de investigación), valuación de opciones financieras (al dirigir dos tesis de licenciatura), el análisis del riesgo por irradiación de rayos X al planeta (en un artículo de investigación), la evolución temporal de la epidemia Covid-19 en México (en una contribución al blog del Instituto de Ecología de la UNAM) y la aplicación de los procesos de Markov en biología celular (en un artículo de investigación).

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