Desde que en el siglo XVII, P. de Fermat estimuló el interés de la comunidad matemática por la investigación sobre problemas de la teoría de los números, se han desarrollado un gran número de herramientas para abordar la solución de este tipo de problemas. Estas herramimentas van, desde inteligentes argumentos elaborados explícitamente para atacar problemas particulares, hasta el desarrollo de técnicas y teorías de gran potencia, generalidad y profundidad. Entre estas últimas, cabe mencionar, por ejemplo, la teoría algebraica de los números, la teoría de las aproximaciones diofantinas y la teoría analítica de los números. Cada una de estas áreas tiene múltiples ramificaciones. En su trabajo matemático, E. Balanzario, M. Garaev y F. Luca han contribuido a la solución de distintos problemas de la teoría de los números al mismo tiempo que han aportado avances en el desarrollo de los métodos propios de esta teoría.

La topología es una de las áreas de las matemáticas que ha tenido un gran desarrollo a nivel nacional e internacional en los últimos años. Cada día se aplican más métodos topológicos en las distintas áreas del conocimiento científico. La actividad de este grupo en la Unidad, tiene un contexto topológico común, aunque desarrollan proyectos de investigación en una gran diversidad de temas de la topología algebraica, la topología de conjuntos y la teoría de conjuntos, así como en áreas cercanas como lógica matemática y teoría de modelos, sistemas dinámicos y álgebras booleanas.

M. Hrusak y S. García-Ferreira se concentran principalmente en las interacciones entre topología y teoría de conjuntos. Usando métodos de combinatoria infinita han resuelto varios problemas importantes en los campos: grupos topológicos, teoría de selecciones, teoría de ultrafiltros, pseudocompacidad, resolubilidad, juegos topológicos, familias casi ajenas, espacios de Fréchet, y álgebras booleanas. Ellos utilizan técnicas de teoría de conjuntos pero, también, las han desarrollado en sus trabajos sobre invariantes cardinales, familias casi ajenas e independientes, principios de adivinanza y el método de “forcing''.

Por su parte, Daniel Juan ha concentrado su labor en el área de la topología algebraica, la cual tiene como uno de sus objetivos principales la clasificación de los espacios topológicos enfatizando aspectos geométricos distintos de los mismos. Por ejemplo, se busca clasificar los espacios según la homotopía, el h-cobordismo o la homología.

Los métodos de la topología algebraica buscan invariantes algebraicos para estudiar fenómenos topológicos o geométricos. Como ejemplos tenemos los grupos de homología, homotopía o los distintos tipos de K-teoría. Algunos de sus trabajos contemplan el cálculo de estos invariantes. Destaca entre ellos su trabajo en la dirección de buscar evidencia para la conjetura de Farrell-Jones, la cual dice que la K-teoría algebraica del anillo de un grupo discreto esta determinada por la K-teoría algebraica de sus subgrupos virtualmente cíclicos.

En estas áreas se estudian interrelaciones entre el álgebra, la topología y la geometría.

En el Centro de Ciencias Matemáticas, las ramas que se trabajan incluyen temas de teoría geométrica de grupos, geometría a gran escala, análisis global y aplicaciones de la topología algebraica.

El Dr. Jesús Hernández se especializa en el estudio el grupo modular de Teichmüller y su relación con la geometría del complejo de curvas y de otros complejos simpliciales, en el contexto de rigidez de acciones y geometría de gran escala del grupo modular.

El trabajo del Dr. Noé Bárcenas incluye temas de análisis global, métodos de la teoría de índice y geometría noconmutativa en interacción en la conjetura de Baum-Connes y en la conjetura de Gromov-Lawson-Rosenberg, el uso de la teoría de homotopía equivariante para el estudio de propiedades de finitud de grupos, y las aplicaciones de la topología algebraica en diversos contextos.

El Dr. Daniel Juan Pineda ha realizado investigación recopilando evidencia para la conjetura de Farrell-Jones y consecuencias geométricas, como la Conjetura de Borel. Del mismo modo, ha realizado contribuciones importantes en el área de condiciones de finitud de gruopos, especialmente al estudio de modelos de espacios clasificantes para familias de grupos.

Los Dres. Noé Bárcenas y Daniel Juan están interesados en temas de teoría geométrica de grupos y su aplicación en las conjeturas de Farrell-Jones y Baum-Connes, así como en la recopilación de evidencia computacional para estas conjeturas.

Los Dres. Jesús Hernández y Ferrán Valdez también realizan investigación relacionada con la geometría de gran escala del grupo modular y complejos donde actúa, en el contexto de superficies de tipo infinito.