Resumen

Un formalismo para la teoría cuántica de campos en variedades, no necesariamente métricas, es una descripción amplia del destino que persigue mi camino en investigación. Así, mi trabajo en física matemática puede etiquetarse como gravitación cuántica, pero el espíritu es incluirla en un formalismo más amplio, que extienda a la teoría cuántica de campos como la conocemos hoy.

He hecho investigación en los siguientes temas:

• Modelos discretos para teorías de campo, en particular para la gravitación.
• Fundamentos matemáticos de la gravitación cuántica de lazos canónica.
• Modelos de espuma de espín en el continuo / compatibilidad con la cuantización de lazos canónica.
• Renormalización para la cuantización de lazos / construcción del primer ejemplo no trivial.

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Mi trabajo se enmarca en las áreas de Combinatoria Algebraica y Teoría de Representaciones.

Un problema de interés en Teoría de Representaciones es el siguiente: calcular la descomposición del producto tensorial de dos representaciones de un grupo dado como suma de subrepresentaciones más pequeñas. El número de veces que una representación aparece como sumando en el producto de otras dos se llama la multiplicidad de la representación.

Un caso muy importante en el que he trabajado es el cálculo de la multiplicidad de una representación irreducible del grupo lineal general en el producto de otras dos representaciones irreducibles del mimos grupo. Estas multiplicidades se llaman “coeficientes de Littlewood-Richardson”. Se pueden calcular contando unos objetos muy estudiados en Combinatoria Algebraica, a saber, tablas de Young que satisfacen algunas propiedades adicionales. Las multiplicidades también se pueden calcular utilizando técnicas de Geometría Discreta. En concreto, a cada terna de representaciones irreducibles, se le asocia un politopo convexo, esto es, un poliedro convexo acotado. Entonces los coeficientes de Littlewood-Richardson se obtienen contando el número de puntos con coordenadas enteras en el politopo.

También he trabajo en el problema análogo para el grupo simétrico. El problema resulta mucho más complicado que en el caso del grupo lineal general. En este caso las multiplicidades se llaman “coeficientes de Kronecker” y son de interés en Combinatoria Algebraica, Física y Teoría de Complejidad Geométrica. A la fecha no se conoce una descripción combinatoria de ellos. Mi trabajo aquí ha consistido en introducir técnicas de Tomografía Discreta para estudiar los coeficientes de Kronecker. También he construido politopos convexos para calcular coeficientes de Kronecker.

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En general me gusta casi todo tipo de matemáticas. En particular me interesan las matemáticas inspiradas por el juego de billar en un polígono. Esto incluye foliaciones holomorfas, superficies planas y geometría compleja. En particular me gusta estudiar los aspectos geométricos y dinámicos de superficies planas de tipo infinito. Por otro lado he estudiado las acciones simpliciales de Mapping Class Groups y los mapas en el contexto de las superficies de tipo infinito. Me interesan también las 3-variedades hiperbólicas y los invariantes asociados a éstas.

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Mi área de interés es la teoría de representaciones de álgebras asociativas, cuyos objetos básicos de estudio son los módulos inescindibles y los homorfimos entre ellos. Me interesan particularmente los métodos homológicos en problemas matriciales y las técnicas de reducción asociadas. Me he concentrado sobre todo en la investigación de los conceptos de álgebras tensoriales diferenciales y sus categorías de módulos, y en su aplicación al estudio de las nociones de mansedumbre y salvajismo para álgebras de dimensión finita sobre campos perfectos.

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Mi área principal de investigación es la teoría de conjuntos y sus aplicaciones en topología, grupos topológicos y análisis real. Quizá un buen ejemplo de este interes se puede encontrar en nuestra solución (en colaboración con M. Hrusak) del problema de metrización para grupos de Fréchet, para cuya solución se requirió de una construcción especial de forcing. También estoy interesado en el estudio de invariantes cardinales del continuo, los cuales sintetizan ciertos aspectos combinatorios de conjuntos de reales, además de tener una estrecha relación con la teoría de forcing iterado.

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Estoy interesado en los aspectos funtoriales de las representaciones de los grupos finitos, es decir a cada grupo finito se le asocian objetos en diferentes categorías para su estudio. Ejemplos de estos objetos son los anillos de Burnside,el anillo de caracteres clásico y de Brauer, el anillo de Green, el anillo global de representaciones entre otros. Todos estos objetos están englobados dentro dentro de la teoría de Funtores de Biconjuntos y de Green de Biconjuntos. Para esto ocupamos herramientas de la álgebra homológica, teoría de grupos y álgebra conmutativa por mencionar algunas.

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Actualmente realizo investigación en simetrías de estructuras combinatorias; en particular en mapas en superficies, en estructuras simétricas en espacios euclidianos y en los llamados politopos abstractos. Dichas estructuras pueden estudiarse desde varios enfoques, lo que permite resolver problemas con herramientas combinatorias, geométricas, topológicas y algebraicas. Mis temas de investigación están directamente relacionados con grupos de Coxeter; grupos discretos de isometrías de espacios esféricos,euclidianos o hiperbólicos; presentación de grupos por medio de generadores y relaciones; acciones de grupos en conjuntos; complejos CW; entre otros.

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Los dos grandes revoluciones de la física fundamental del siglo XX, la teoría de la relatividad especial y general de un lado y la teoría cuántica del otro lado, nos han llevado a un entendimiento bastante profundo del universo y de sus constituyentes. Sin embargo, estos dos marcos teóricos han quedado separados e incluso contradictorios entre si. En mi opinión, el obstáculo principal para su unificación es la formulación particular de la teoría cuántica, consecuencia de su fundamentación histórica en el contexto del pensamiento pre-relativista. Por lo tanto me interesan los fundamentos de la teoría cuántica con la perspectiva de reformularlos de acuerda con los principios de la relatividad general. El laboratorio mas importante para hacerlo resulta ser la teoría cuántica de campos. Mientras las motivaciones vienen de la física, la practica de mi trabajo involucra muchas áreas matemáticas, incluyendo análisis funcional, teoría cuántica de campos topológica, geometría diferencial y simpléctica.

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Estudio de las propiedades cualitativas de las soluciones de las ecuaciones no lineales en en derivadas parciales que tienen aplicaciones en diversas áreas de física, biología, etc. Temas de interés: Comportamiento asintótico para tiempo largo para soluciones de ecuaciones dispersivas no lineales, tales como ecuaciones de Schrödinger no lineales con una no linealidad crítica, ecuación de Klein-Gordon, Benjamin-Ono, Korteweg-de Vries, y además las ecuaciones no lineales disipativas, tales como ecuación no lineal de calor, ecuación de onda con disipación, sistema de Navier-Stokes.

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Mi área de trabajo son los sistemas dinámicos holomorfos. Para ello utilizo ecuaciones diferenciales ordinarias, geometría diferencial, y geometría algebraica. Una virtud de los objetos holomorfos es que muchas veces están contenidos en familias naturales con un número finito de parámetros.